حل کاردرکلاس صفحه 19 حسابان یازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۱۹ حسابان یازدهم سلام! این معادله یک **معادله کسری** است که با استفاده از **تغییر متغیر** به سادگی به یک معادله درجه دوم تبدیل می‌شود. اولین گام، تعیین شرط وجود جواب است. ### گام اول: تعیین دامنه و شرط‌های معادله معادله کسری تنها زمانی تعریف شده است که مخرج کسرها صفر نباشند: $$x - ۲ \ne ۰ \implies \mathbf{x \ne ۲}$$ ### گام دوم: تغییر متغیر عبارت تکراری در مخرج کسرها، $(x-۲)$ است. اگر $\mathbf{u = \frac{۱}{x-۲}}$ را در نظر بگیریم، داریم: * $\frac{۱}{(x-۲)^۲} = (\frac{۱}{x-۲})^۲ = u^۲$ * $\frac{۲}{x-۲} = ۲ \times \frac{۱}{x-۲} = ۲u$ معادله اصلی به یک معادله درجه دو بر حسب $u$ تبدیل می‌شود: $$u^۲ + ۲u = ۳$$ $$u^۲ + ۲u - ۳ = ۰$$ ### گام سوم: حل معادله درجه دو بر حسب $u$ معادله را با روش **تجزیه** حل می‌کنیم. به دنبال دو عدد می‌گردیم که ضرب آن‌ها $-۳$ و جمع آن‌ها $۲$ باشد (اعداد ۳ و $-۱$): $$(u + ۳)(u - ۱) = ۰$$ $$\mathbf{u_۱ = -۳ \quad \text{و} \quad u_۲ = ۱}$$ ### گام چهارم: بازگشت به متغیر اصلی $x$ حالا مقادیر $u$ را در رابطه $u = \frac{۱}{x-۲}$ جایگذاری می‌کنیم. * **حالت اول ($u = -۳$):** $$-۳ = \frac{۱}{x - ۲}$$ $$-۳(x - ۲) = ۱$$ $$-۳x + ۶ = ۱$$ $$-۳x = ۱ - ۶ = -۵$$ $$x = \frac{-۵}{-۳} \implies \mathbf{x_۱ = \frac{۵}{۳}}$$ * **حالت دوم ($u = ۱$):** $$۱ = \frac{۱}{x - ۲}$$ $$x - ۲ = ۱$$ $$\mathbf{x_۲ = ۳}$$ ### گام پنجم: بررسی اعتبار جواب‌ها هر دو جواب $x_۱ = \frac{۵}{۳}$ و $x_۲ = ۳$ با شرط $\mathbf{x \ne ۲}$ سازگار هستند، زیرا $\frac{۵}{۳} \approx ۱.۶۷ \ne ۲$ و $۳ \ne ۲$. **جواب‌های معادله**: $\mathbf{\frac{۵}{۳}}$ و $\mathbf{۳}$.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۱۹ حسابان یازدهم سلام! این یک مسئله ترکیبی زیباست که از مفهوم **نسبت طلایی** (Golden Ratio) و خواص مستطیل استفاده می‌کند. نسبت طلایی معمولاً با حرف یونانی $\phi$ (فی) نمایش داده می‌شود و در طبیعت و هنر کاربرد فراوان دارد. ### گام اول: محاسبه مقدار نسبت طلایی ($\phi$) رابطه نسبت طلایی به صورت زیر تعریف شده است: $$\frac{L}{w} = \frac{w + L}{L}$$ ما ابتدا باید مقدار این نسبت $\frac{L}{w}$ را پیدا کنیم. فرض می‌کنیم $\mathbf{\phi = \frac{L}{w}}$ باشد. * **ساده‌سازی طرف دوم:** کسر سمت راست را جدا می‌کنیم: $$\frac{w + L}{L} = \frac{w}{L} + \frac{L}{L} = \frac{w}{L} + ۱$$ * **جایگذاری $\phi$:** توجه کنید که $\frac{w}{L}$ برابر با $\frac{۱}{\phi}$ است. $$\phi = \frac{۱}{\phi} + ۱$$ * **تشکیل معادله درجه دو:** دو طرف را در $\phi$ ضرب می‌کنیم: $$\phi^۲ = ۱ + \phi$$ $$\mathbf{\phi^۲ - \phi - ۱ = ۰}$$ * **حل معادله برای $\phi$:** از فرمول دلتا استفاده می‌کنیم (چون $\phi$ یک نسبت طول است، باید مثبت باشد): $$\phi = \frac{-(-۱) \pm \sqrt{(-۱)^۲ - ۴(۱)(-۱)}}{۲(۱)} = \frac{۱ \pm \sqrt{۱ + ۴}}{۲} = \frac{۱ \pm \sqrt{۵}}{۲}$$ $$\mathbf{\phi = \frac{۱ + \sqrt{۵}}{۲} \approx ۱.۶۱۸}$$ (مقدار منفی قابل قبول نیست) ### گام دوم: استفاده از محیط مستطیل * **محیط مستطیل**: $P = ۲(L + w)$. * **مقدار داده شده**: $P = ۱۴۴$ متر. $$۲(L + w) = ۱۴۴$$ $$L + w = ۷۲$$ $$\mathbf{L = ۷۲ - w} \quad \text{(معادله ۱)}$$ ### گام سوم: جایگذاری و حل برای $w$ و $L$ * **استفاده از نسبت طلایی**: $\frac{L}{w} = \phi$ $$L = \phi w \quad \text{(معادله ۲)}$$ * **حل دستگاه معادلات**: معادله ۲ را در معادله ۱ جایگذاری می‌کنیم: $$\phi w + w = ۷۲$$ $$w (\phi + ۱) = ۷۲$$ * **محاسبه $w$**: $$w = \frac{۷۲}{\phi + ۱}$$ **نکته محاسباتی مهم:** می‌دانیم که $\phi^۲ - \phi - ۱ = ۰$. پس $\phi^۲ = \phi + ۱$. یعنی **$\phi + ۱ = \phi^۲$**. $$w = \frac{۷۲}{\phi^۲}$$ * **محاسبه $L$**: از رابطه $L = \phi w$ استفاده می‌کنیم: $$L = \phi (\frac{۷۲}{\phi^۲}) = \frac{۷۲}{\phi}$$ ### گام چهارم: جایگذاری مقدار عددی مقدار $\phi \approx ۱.۶۱۸$ را جایگذاری می‌کنیم: * **محاسبه عرض ($w$)**: $$\phi^۲ \approx (۱.۶۱۸)^۲ \approx ۲.۶۱۸$$ $$w = \frac{۷۲}{۲.۶۱۸} \approx \mathbf{۲۷.۵} \quad \text{(متر)}$$ * **محاسبه طول ($L$)**: $$L = ۷۲ - w \approx ۷۲ - ۲۷.۵ \approx \mathbf{۴۴.۵} \quad \text{(متر)}$$ **پاسخ نهایی**: * **طول زمین ($athbf{L}$)**: تقریباً **۴۴.۵ متر** * **عرض زمین ($athbf{w}$)**: تقریباً **۲۷.۵ متر**